الفهرس المرجعي الشامل للمنحنيات والأسطح والمصفوفات والتفاضل والتكامل
ابحث فورياً بالاسم أو المعادلة للانتقال المباشر إلى أي نموذج رياضي محمّل مسبقاً داخل الاستوديو التفاعلي.
1. المنحنيات الديكارتية والقطبية والوسيطية (24)
يمثل حركة النوابض الميكانيكية ودوائر الرنين RLC تحت التخميد حيث يحدّ الغلاف الأسي المتناقص سعة التذبذب الجيبي.
y = exp(-a*x)*cos(b*x)
دالة الكثافة الاحتمالية القياسية بمساحة كلية تساوي 1 بالضبط وقمة عند المتوسط μ ونقطتي انعطاف عند μ ± σ.
y = exp(-(x - c)^2 / (2*a^2)) / (a*sqrt(2*pi))
دالة التنشيط اللوجستية ونمو المجتمعات الحيوية ذات السعة القصوى الثابتة ونقطة الانعطاف المتماثلة في المنتصف.
y = a / (1 + exp(-b*(x - c)))
النواة المثالية لإعادة بناء الإشارات الرقمية وفق مبرهنة نايكويست، ويمثل مربعها توزيع شدة أهداب الحيود الضوئي.
y = sinc(a*x)
منحنى كسري شهير خالٍ من الجذور والأسس، يطابق شكل خطوط الرنين الطيفي في الفيزياء الذرية وتوزيع كوشي الاحتمالي.
y = 8*a^3 / (x^2 + 4*a^2)
الشكل الهندسي الدقيق لتوازن كابل منتظم معلق تحت تأثير الجاذبية، مع مقارنته المباشرة بتقريب القطع المكافئ.
y = a*cosh(x/a)
يوضح فصل الفروع تلقائياً عند خطوط التقارب الرأسية x = ±1 مع تحديد الجذور عند x = ±2 والمقارب الأفقي y = 1.
y = (x^2 - 4) / (x^2 - 1)
يبرز التطابق الهندسي بين النهايتين العظمى والصغرى المحلية للدالة التكعيبية وجذور مشتقتها الأولى على نفس الشبكة.
y = x^3 - 3*a*x + c
تراكب ترددين متقاربين يولّد موجة حاملة سريعة محاطة بغلاف تضميني بطيء يفسر ظاهرة الضربات السمعية.
y = cos(a*x) + cos(b*x)
كثيرة الحدود المثلى على الفترة [−1, 1] ذات القمم المتناوبة بين ±1 التي تمنع تذبذب رونغ في الاستيفاء العددي.
y = 16*x^5 - 20*x^3 + 5*x
يوازن بين تنافر باولي قصير المدى وتجاذب فان دير فالس مع قاع طاقة توازني عند المسافة r = 2^(1/6)σ.
y = 4*a*((1/x)^12 - (1/x)^6)
مقارنة بصرية وتحليلية لدوال التنشيط الملساء غير الرتيبة المستخدمة في نماذج اللغة العميقة بدلاً من ReLU.
y = x / (1 + exp(-a*x))
يوضح المنحنيات المتصلة التي تمتلك زوايا حادة أو قرنة ذات مماس رأسي تنعدم عندها قابلية الاشتقاق الكلاسيكية.
y = abs(x^2 - a^2) - b
يرسم الامتداد التحليلي للمضروب Γ(x) مع أقطابه عند الأعداد الصحيحة السالبة جنباً إلى جنب مع دالة الخطأ الغاوسية.
y = gamma(x)
ينتج k من البتلات عندما يكون المعامل فردياً و 2k عندما يكون زوجياً مع إمكانية تعديل المعاملات لحظياً.
r = a*cos(b*theta)
يتحول بسلاسة بين الشكل المحدب والمنحنى القلبي (عندما a = b) والحلقة الداخلية المتقاطعة عندما يكون a < b.
r = a + b*cos(theta)
يتميز بثبات المسافة الشعاعية Δr = 2πb بين كل دورتين متتاليتين، ويُستخدم في الضواغط الحلزونية والهوائيات.
r = a + b*theta
المنحنى القطبي الشهير الذي يدمج الدالة الأسية والتوافقيات المثلثية لرسم أجنحة فراشة متماثلة بدقة مذهلة.
r = exp(sin(theta)) - 2*cos(4*theta) + sin((2*theta - pi)/24)^5
المعادلة القطبية الموحدة للمدارات الفلكية حول البؤرة: دائرة (e=0)، قطع ناقص (0<e<1)، مكافئ (e=1)، وزائد (e>1).
r = a / (1 - b*cos(theta))
مسارات التذبذب المتعامد المستخدمة في راسم الإشارة (الأوسيلوسكوب) لقياس نسبة الترددين وفرق الطور بدقة.
(4*sin(a*t + c), 3*sin(b*t))
مسار نقطة على دائرة نصف قطرها a/4 تتدحرج داخل دائرة ثابتة نصف قطرها a، بطول قوس كلي يساوي 6a.
(a*cos(t)^3, a*sin(t)^3)
يتولد من دحرجة دائرة خارج محيط دائرة أخرى، ويعد حجر الأساس في تصميم أسنان التروس والمضخات الدوارة.
((a + 1)*cos(t) - cos((a + 1)*t), (a + 1)*sin(t) - sin((a + 1)*t))
مسار نقطة على عجلة متدحرجة، وهو الحل الشهير لمسألة برنولي لأقصر زمن انزلاق تحت الجاذبية.
(a*(t - sin(t)), a*(1 - cos(t)))
الحلزون ذاتي التشابه الذي يقطع جميع الأشعة المركزية بزاوية ميل ثابتة، ويظهر في أصداف النوتيلوس والمجرات الحلزونية.
(a*exp(b*t)*cos(t), a*exp(b*t)*sin(t))
2. الأسطح ثلاثية الأبعاد وحقول التحسين (20)
سطح مسطّر مزدوج ذو انحناء غاوسي سالب يتقوس لأعلى باتجاه x ولأسفل باتجاه y مع نقطة سرج نموذجية عند الأصل.
z = 0.35*(x^2 - y^2)
سطح متماثل شعاعياً يمثل تحويل فورييه الثنائي للفتحات الدائرية مع قمة مركزية وحلقات تموج متحدة المركز.
z = 3.2*sinc(1.8*sqrt(x^2 + y^2))
سطح تربيعي محدب تماماً بمصفوفة هيسيان موجبة التحديد وخطوط تساوي ارتفاع إهليلجية متداخلة حول القاع العالمي.
z = 0.28*(x^2 + 1.5*y^2) - 2
الجزء الحقيقي للدالة العقدية z³ ويضم ثلاثة أودية متناوبة تنعدم عند مركزها المشتقات الجزئية الأولى والثانية معاً.
z = 0.16*(x^3 - 3*x*y^2)
سطح اختبار قياسي في بحوث العمليات والتعلم العميق يحتوي على أربعة قيعان عالمية متكافئة وقمة محلية مركزية.
z = 0.025*((x^2 + y - 11)^2 + (x + y^2 - 7)^2) - 2.5
وادٍ ضيق على هيئة قطع مكافئ يختبر كفاءة خوارزميات التحسين في الوصول إلى القاع العالمي عند النقطة (1, 1).
z = 0.015*((1 - x)^2 + 30*(y - x^2)^2) - 1.5
جهد سلمي أملس متناظر عكسياً يظهر قمة موجبة وقاعاً سالباً يفصل بينهما خط انعدام الجهد عند x = 0.
z = 3.5*x*exp(-0.45*(x^2 + y^2))
حل ذاتي لمعادلة الموجة الثنائية لغشاء مستطيل مهتز يوضح شبكة العقد الساكنة والبطون المتناوبة.
z = 2.2*sin(1.2*x)*cos(1.2*y)
مؤثر لابلاس للمرشح الغاوسي الثنائي المستخدم في الرؤية الحاسوبية والجيوفيزياء لاكتشاف الحواف متعدّدة المقاييس.
z = 3.2*(1 - 0.45*(x^2 + y^2))*exp(-0.22*(x^2 + y^2))
وعاء تربيعي متراكب مع شبكة جيبية دورية تولّد عشرات القيعان المحلية الخادعة لاختبار خوارزميات البحث الشامل.
z = 0.18*(20 + (x^2 - 10*cos(2*pi*x*0.5)) + (y^2 - 10*cos(2*pi*y*0.5))) - 3
سطح مخروطي يمتلك تدرجاً شعاعياً ثابت المقدار يساوي 1 في كل نقطة ما عدا رأس المخروط غير القابل للاشتقاق.
z = sqrt(x^2 + y^2)
نصف الكرة العلوي بنصف قطر R = 3 حيث ينطبق المتجه العمودي للسطح مع متجه الموضع الشعاعي من المركز.
z = sqrt(max(0, 9 - x^2 - y^2))
الحل الأساسي لمعادلة لابلاس في بعدين، ويمثل الجهد الكهربائي لخيط مشحون لا نهائي الطول.
z = 1.2*ln(x^2 + y^2 + 0.15)
يجسد زاوية العدد المركب arg(x + iy) في الفضاء الثلاثي مع توضيح قفزة التفرع على طول المحور السالب.
z = 1.4*atan2(y, x)
نموذج طاقة لانداو الحرة في فيزياء الحالة الصلبة، يبرز قمة مركزية غير مستقرة وأربعة آبار طاقة أرضية متماثلة.
z = 0.18*(x^4 - 5*x^2 + y^4 - 5*y^2) + 2
حزمة موجية موضعية موجهة تحقق الحد الأدنى لمبدأ عدم اليقين المكاني والترددي في تحليل الصور.
z = 2.8*exp(-0.22*(x^2 + y^2))*cos(2.2*x + 1.1*y)
سطح طاقة الإلكترونات في بلورة مربعة ثنائية الأبعاد يوضح تفردات فان هوف وخطوط فيرمي المعيّنة.
z = 1.8*(cos(1.3*x) + cos(1.3*y))
سطح كسري يمثل توزيع شدة الحزم الليزرية المركزة وقمم أطياف الرنين المغناطيسي النووي ثنائية الأبعاد.
z = 4.2 / (1 + 0.45*(x^2 + 1.8*y^2))
يولّد أهداب تداخل على شكل قطوع زائدة متداخلة كما تظهر في فحص العدسات اللانقطية بالتداخل الضوئي.
z = 1.6*sin(0.5*(x^2 - y^2))
سطح مسطر يتذبذب كدالة sin(2θ) حول الأصل، ويعد المثال الكلاسيكي في التفاضل متعدد المتغيرات لاعتماد النهاية على المسار.
z = (2.4*x*y) / (x^2 + y^2 + 0.25)
3. الجبر الخطي وحل المصفوفات خطوة بخطوة (18)
تحويل أي مصفوفة إلى الشكل المدرج المختزل صفياً عبر عمليات الصفوف الأولية بالكسور الاعتيادية المختزلة دون أخطاء تقريب.
3×4 · RREF
يحل نظاماً خطياً من 3 معادلات في 3 مجاهيل عبر المصفوفة الموسعة [A | b] مع التحقق الآلي من دقة الحل بالتعويض المباشر.
3×3 · SYSTEM
يحل مصفوفة لابلاس المتماثلة رباعية العقد المستخدمة في توزيع درجات الحرارة وتحليل التيارات الحلقية بالكسور الدقيقة.
4×4 · SYSTEM
يميز المتغيرات الأساسية والحرة تلقائياً عندما تكون الرتبة أقل من عدد المجاهيل ويكتب الحل العام بدلالة المتجهات الوسيطية.
3×4 · SYSTEM
يوضح خطوة بخطوة كيف يؤدي اختلاف رتبة مصفوفة المعاملات عن المصفوفة الموسعة إلى صف تناقض صريح يثبت استحالة الحل.
3×3 · SYSTEM
تحسب قيمة المحدد بدقة عبر الاختزال الصفّي إلى مصفوفة مثلثية علوية مع تتبع إشارة تبديل الصفوف ومعامل تمدد الحجم.
3×3 · DET
تتجنب فك العوامل المرافقة الـ 24 المرهق عبر تحويل المصفوفة الرباعية بعمليات صفية دقيقة إلى حاصل ضرب القطر الرئيسي.
4×4 · DET
تدمج المصفوفة مع مصفوفة الوحدة وتنفذ اختزال غاوس-جوردان الكامل لاستخراج المصفوفة العكسية بالكسور الدقيقة.
3×3 · INVERSE
يسترجع المعكوس الصحيح التام لمصفوفة هيلبرت الحساسة عددياً مع محددها الدقيق 1/2160 دون أي ضياع ناتج عن التقريب العشري.
3×3 · INVERSE
يكشف الارتباط الخطي R₃ = 2R₂ − R₁ أثناء الاختزال الصفي ليثبت أن الرتبة تساوي 2 وأن المعكوس غير موجود.
3×3 · INVERSE
يحسب كثيرة الحدود المميزة det(A − λI) = 0 ويستخرج القيم الذاتية الحقيقية والمتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة.
3×3 · EIGEN
يفسر ظهور القيم الذاتية العقدية المترافقة في مصفوفات الدوران والتمدد وعلاقتها بالبؤر الحلزونية في الأنظمة الديناميكية.
2×2 · EIGEN
يحلل مصفوفات الاحتمال الانتقالي حيث تحدد القيمة الذاتية λ₁ = 1 التوزيع المستقر وتقيس |λ₂| سرعة التقارب.
3×3 · EIGEN
يستخرج متجهات الأساس لفضاء الأعمدة والفضاء الصفري مع التحقق المباشر من معادلة rank(A) + nullity(A) = n.
3×4 · SUBSPACES
يفكك المصفوفة إلى مصفوفة تبديل P ومثلثية سفلية واحدية L ومثلثية علوية U لتسريع حل الأنظمة المتعددة.
3×3 · LU
يحول أعمدة المصفوفة إلى أساس متعامد ممنظم Q مع مصفوفة مثلثية علوية R لتطبيقات المربعات الصغرى العددية.
3×3 · QR
يستخرج المعاملات الدقيقة للدالة التكعيبية التي تمر بأربع نقاط معطاة عبر حل نظام فاندرموند خطوة بخطوة.
4×4 · SYSTEM
مصفوفة معاملات ذات الحدين المتماثلة التي تتميز بتفكيك مثلثي أقطاره تساوي 1 دائماً مهما كبر حجم المصفوفة.
4×4 · LU
4. التفاضل الرمزي والتكامل ومتسلسلات تايلور وفورييه (18)
تطبق قاعدتي الضرب والسلسلة رمزياً خطوة بخطوة مع استخراج معادلة المماس والعمودي ونقاط القيم القصوى والانعطاف.
x^2 * exp(-0.5*x)
تشتق الدوال الكسرية رمزياً بقاعدة القسمة وتحدد نصف قطر التقوس والقيم العظمى والصغرى الشاملة بدقة.
(x^2 + 1) / (x^2 - x + 2)
يرصد آلياً جميع الجذور والنهايات العظمى والصغرى المحلية ونقاط الانعطاف عبر دورة كاملة [−π, π].
sin(2*x) + 0.5*cos(x)
مثال كلاسيكي يوضح كيف تختصر الحدود الكسرية جبريةً لتنتج المشتقة الأولى arctan(x) والمشتقة الثانية الموجبة دائماً.
x*atan(x) - 0.5*ln(1 + x^2)
يحسب التكامل الغاوسي الذي لا يملك دالة أصلية أولية ويقارن جدولياً خطأ ست طرق تكامل عددي مختلفة.
exp(-x^2)
يظلل ويحسب المساحة الاحتمالية الشهيرة بين −1.96 و +1.96 للتوزيع الطبيعي القياسي بدقة سبعة أرقام عشرية.
exp(-x^2 / 2) / sqrt(2*pi)
تكامل حيود فرينل المتسارع التردد الذي يختبر قدرة طرق التكامل العددي على تتبع التذبذبات السريعة.
sin(x^2)
يحسب في آن واحد مساحة نصف الدائرة وطول قوسها وحجم الكرة الناتجة عن دورانها حول محور السينات.
sqrt(max(0, 4 - x^2))
التكامل القياسي الذي يساوي 1 تماماً، ويوضح بصرياً لماذا تعطي قاعدة شبه المنحرف تقديراً أقل للدوال المقعرة لأسفل.
ln(x)
يحسب قيمة Si(π) المسؤولة رياضياً عن نسبة التجاوز الثابتة (8.95%) في ظاهرة غيبس عند القفزات المتقطعة.
sinc(x)
ترسم تقريب ماكلورين الفردي المتناوب فوق دالة الجيب لتوضيح اتساع نطاق التطابق مع زيادة درجة كثيرة الحدود.
sin(x)
حيث تساوي جميع المشتقات عند الصفر 1 لتولّد معاملات مقلوب المضروب المتقاربة على كامل خط الأعداد الحقيقية.
exp(x)
توضح بصرياً كيف تتطابق المتسلسلة بدقة داخل الفترة (−1, 1] ثم تتباعد بشدة خارجها بسبب القطب عند x = −1.
ln(1 + x)
التفكيك الهندسي الأساسي بمعاملات تساوي الواحد الصحيح والمحدود بخط التقارب الرأسي عند النقطة x = 1.
1 / (1 - x)
تركّب التوافقيات الفردية لدالة الجيب وتقيس خطأ الجذر التربيعي المتوسط ورنين غيبس عند حواف الموجة المربعة.
Fourier(square)
تتضمن جميع التوافقيات الزوجية والفردية المتناقصة بمعدل 1/n، وهي الموجة الأساسية في مولدات الصوت الموسيقية.
Fourier(sawtooth)
اتصال الموجة المثلثية يسرّع اضمحلال المعاملات إلى 1/n² فيحقق تطابقاً بصرياً شبه تام خلال خمس توافقيات فقط.
Fourier(triangle)
يستخرج المركبة المستمرة 2/π والتوافقيات الزوجية المسؤولة عن تموج الجهد لتصميم مرشحات التنعيم في دوائر التغذية.
Fourier(rectified)
5. حقول الميول والمعادلات التفاضلية RK4 (12)
تتقارب جميع المنحنيات التكاملية أسياً نحو خط الاتزان الحراري الأفقي y = 1 مهما كانت درجة الحرارة الابتدائية.
dy/dx = -0.6*(y - 1)
حقل اتجاهي ذاتي يوضح الفرق بين التوازن غير المستقر عند y = 0 والتوازن المستقر الجاذب عند السعة القصوى K = 3.
dy/dx = 0.8*y*(1 - y/3)
تنجذب الحالات الموجبة نحو التوازن +2 والسالبة نحو −2، وهو النموذج الرياضي للذاكرة الثنائية والمفاتيح الحيوية.
dy/dx = 0.25*y*(4 - y^2)
يوضح تلاشي المركبة العابرة المعتمدة على الشحنة الابتدائية واستقرار جميع المسارات على موجة جيبية متأخرة الطور.
dy/dx = 2*cos(1.8*x) - 0.9*y
يقارن انحراف طريقة أويلر من الرتبة الأولى بدقة خوارزمية رونغ-كوتا الرابعة (RK4) عبر مسارات الجرس الغاوسي.
dy/dx = -0.6*x*y
معادلة تفاضلية تربيعية غير قابلة للفصل تظهر في نظرية التحكم الأمثل LQR وميكانيكا الكم.
dy/dx = 0.25*x^2 - 0.35*y^2
يكشف التذبذب المستقر فوق الكتلة الحرجة مقابل الانهيار المفاجئ عند تجاوز معدل الصيد الموسمي لقدرة التجدد.
dy/dx = y*(1 - y/3) - 0.55*(1 + 0.6*sin(2*x))
بخلاف النمو اللوجستي المتماثل، يصل منحنى غومبرتز إلى أقصى سرعة نمو مبكراً عند النسبة K/e ≈ 36.8%.
dy/dx = 0.55*y*ln(3.5 / max(0.05, abs(y)))
تتحول بالتعويض القياسي u = y⁻² إلى معادلة خطية تامة مما يتيح مقارنة الحل التحليلي بدقة تكامل RK4.
dy/dx = 0.5*y - 0.2*y^3
بالضرب في عامل التكامل μ(x) = x + 4 تصبح المعادلة مشتقة تامة يمكن تتبع حلولها بصرياً عبر حقل الميول.
dy/dx = cos(x) - y / (x + 4)
يوضح كيف تنحصر الحلول العددية داخل قمع مقارب يتبع الفرع العلوي للقطع المكافئ y ≈ √(x/α) مع تزايد x.
dy/dx = x - 0.35*y^2
يصور أودية الجهد الدورية مع معامل التخميد اللزج الذي يجذب المسارات نحو أحواض الاستقرار.
dy/dx = -1.5*sin(x) - 0.35*y