مختبر الاشتقاق الرمزي والتكامل العددي ومتسلسلات تايلور وفورييه
انتقل بضغطة واحدة بين قواعد الاشتقاق والمماس، ومستطيلات ريمان وسيمبسون، وتقريب كثيرات حدود تايلور، وتركيب التوافقيات الجيبية لفورييه.
تطبق قاعدتي الضرب والسلسلة رمزياً خطوة بخطوة مع استخراج معادلة المماس والعمودي ونقاط القيم القصوى والانعطاف.
x^2 * exp(-0.5*x)
تشتق الدوال الكسرية رمزياً بقاعدة القسمة وتحدد نصف قطر التقوس والقيم العظمى والصغرى الشاملة بدقة.
(x^2 + 1) / (x^2 - x + 2)
يرصد آلياً جميع الجذور والنهايات العظمى والصغرى المحلية ونقاط الانعطاف عبر دورة كاملة [−π, π].
sin(2*x) + 0.5*cos(x)
مثال كلاسيكي يوضح كيف تختصر الحدود الكسرية جبريةً لتنتج المشتقة الأولى arctan(x) والمشتقة الثانية الموجبة دائماً.
x*atan(x) - 0.5*ln(1 + x^2)
يحسب التكامل الغاوسي الذي لا يملك دالة أصلية أولية ويقارن جدولياً خطأ ست طرق تكامل عددي مختلفة.
exp(-x^2)
يظلل ويحسب المساحة الاحتمالية الشهيرة بين −1.96 و +1.96 للتوزيع الطبيعي القياسي بدقة سبعة أرقام عشرية.
exp(-x^2 / 2) / sqrt(2*pi)
تكامل حيود فرينل المتسارع التردد الذي يختبر قدرة طرق التكامل العددي على تتبع التذبذبات السريعة.
sin(x^2)
يحسب في آن واحد مساحة نصف الدائرة وطول قوسها وحجم الكرة الناتجة عن دورانها حول محور السينات.
sqrt(max(0, 4 - x^2))
التكامل القياسي الذي يساوي 1 تماماً، ويوضح بصرياً لماذا تعطي قاعدة شبه المنحرف تقديراً أقل للدوال المقعرة لأسفل.
ln(x)
يحسب قيمة Si(π) المسؤولة رياضياً عن نسبة التجاوز الثابتة (8.95%) في ظاهرة غيبس عند القفزات المتقطعة.
sinc(x)
ترسم تقريب ماكلورين الفردي المتناوب فوق دالة الجيب لتوضيح اتساع نطاق التطابق مع زيادة درجة كثيرة الحدود.
sin(x)
حيث تساوي جميع المشتقات عند الصفر 1 لتولّد معاملات مقلوب المضروب المتقاربة على كامل خط الأعداد الحقيقية.
exp(x)
توضح بصرياً كيف تتطابق المتسلسلة بدقة داخل الفترة (−1, 1] ثم تتباعد بشدة خارجها بسبب القطب عند x = −1.
ln(1 + x)
التفكيك الهندسي الأساسي بمعاملات تساوي الواحد الصحيح والمحدود بخط التقارب الرأسي عند النقطة x = 1.
1 / (1 - x)
تركّب التوافقيات الفردية لدالة الجيب وتقيس خطأ الجذر التربيعي المتوسط ورنين غيبس عند حواف الموجة المربعة.
Fourier(square)
تتضمن جميع التوافقيات الزوجية والفردية المتناقصة بمعدل 1/n، وهي الموجة الأساسية في مولدات الصوت الموسيقية.
Fourier(sawtooth)
اتصال الموجة المثلثية يسرّع اضمحلال المعاملات إلى 1/n² فيحقق تطابقاً بصرياً شبه تام خلال خمس توافقيات فقط.
Fourier(triangle)
يستخرج المركبة المستمرة 2/π والتوافقيات الزوجية المسؤولة عن تموج الجهد لتصميم مرشحات التنعيم في دوائر التغذية.
Fourier(rectified)
الأسئلة العلمية الشائعة والتفسير الرياضي
ما الفرق في الدقة بين قاعدة شبه المنحرف وقاعدة سيمبسون وتربيع غاوس-ليجندر؟
يتناقص خطأ شبه المنحرف بمعدل O(h²) وسيمبسون بمعدل O(h⁴)، بينما يحقق تربيع غاوس-ليجندر ذو 192 عقدة دقة تقارب دقة الآلة للدوال الملساء.