المعادلة القابلة للفصل dy/dx = −kxy وعائلة المنحنيات الغاوسية y = C·e^(−kx²/2)
يقارن انحراف طريقة أويلر من الرتبة الأولى بدقة خوارزمية رونغ-كوتا الرابعة (RK4) عبر مسارات الجرس الغاوسي.
حقل الاتجاهات التفاضلي (انقر في أي مكان على الشبكة لإطلاق مسار حل جديد)
ملخص مسار المسألة الابتدائية (RK4 مقابل أويلر)
dy/dx-0.6*x*y , y(-2.5) = 0.5
RK4 y(2.5)0.500001 (Euler: 0.47683)
نماذج معادلات تفاضلية أخرى
المعادلات التفاضلية الخطية وانتقال الحرارة
قانون نيوتن للتبريد dy/dt = −k(y − T_env) وخط الاتزان الحراري الجاذب
تتقارب جميع المنحنيات التكاملية أسياً نحو خط الاتزان الحراري الأفقي y = 1 مهما كانت درجة الحرارة الابتدائية.
dy/dx = -0.6*(y - 1)
ديناميكا المجتمعات ونقاط التوازن
المعادلة التفاضلية اللوجستية dy/dt = r·y(1 − y/K) واستقرار السعة القصوى
حقل اتجاهي ذاتي يوضح الفرق بين التوازن غير المستقر عند y = 0 والتوازن المستقر الجاذب عند السعة القصوى K = 3.
dy/dx = 0.8*y*(1 - y/3)
الأنظمة ثنائية الاستقرار والتفرع
المعادلة اللاخطية ثنائية الاستقرار dy/dt = α·y(4 − y²) وحاجز الفصل
تنجذب الحالات الموجبة نحو التوازن +2 والسالبة نحو −2، وهو النموذج الرياضي للذاكرة الثنائية والمفاتيح الحيوية.
dy/dx = 0.25*y*(4 - y^2)
الاستجابة العابرة والمستقرة لدوائر RC
المعادلة التفاضلية لمرشح RC بتغذية جيبية: الاستجابة العابرة والمستقرة
يوضح تلاشي المركبة العابرة المعتمدة على الشحنة الابتدائية واستقرار جميع المسارات على موجة جيبية متأخرة الطور.
dy/dx = 2*cos(1.8*x) - 0.9*y
معادلات ريكاتي التفاضلية اللاخطية
معادلة ريكاتي التفاضلية اللاخطية dy/dx = a·x² − b·y² وحقل الميول المنحني
معادلة تفاضلية تربيعية غير قابلة للفصل تظهر في نظرية التحكم الأمثل LQR وميكانيكا الكم.
dy/dx = 0.25*x^2 - 0.35*y^2
النمذجة البيئية وعتبات الانهيار
نموذج الحصاد الموسمي للمجتمعات الحيوية وعتبة الانقراض الحرجة
يكشف التذبذب المستقر فوق الكتلة الحرجة مقابل الانهيار المفاجئ عند تجاوز معدل الصيد الموسمي لقدرة التجدد.
dy/dx = y*(1 - y/3) - 0.55*(1 + 0.6*sin(2*x))