معادلة برنولي اللاخطية dy/dx = 0.5y − 0.2y³ والتحويل الخطي القياسي
تتحول بالتعويض القياسي u = y⁻² إلى معادلة خطية تامة مما يتيح مقارنة الحل التحليلي بدقة تكامل RK4.
حقل الاتجاهات التفاضلي (انقر في أي مكان على الشبكة لإطلاق مسار حل جديد)
ملخص مسار المسألة الابتدائية (RK4 مقابل أويلر)
dy/dx0.5*y - 0.2*y^3 , y(0) = 0.3
RK4 y(6)1.53114 (Euler: 1.53525)
نماذج معادلات تفاضلية أخرى
المعادلات التفاضلية الخطية وانتقال الحرارة
قانون نيوتن للتبريد dy/dt = −k(y − T_env) وخط الاتزان الحراري الجاذب
تتقارب جميع المنحنيات التكاملية أسياً نحو خط الاتزان الحراري الأفقي y = 1 مهما كانت درجة الحرارة الابتدائية.
dy/dx = -0.6*(y - 1)
ديناميكا المجتمعات ونقاط التوازن
المعادلة التفاضلية اللوجستية dy/dt = r·y(1 − y/K) واستقرار السعة القصوى
حقل اتجاهي ذاتي يوضح الفرق بين التوازن غير المستقر عند y = 0 والتوازن المستقر الجاذب عند السعة القصوى K = 3.
dy/dx = 0.8*y*(1 - y/3)
الأنظمة ثنائية الاستقرار والتفرع
المعادلة اللاخطية ثنائية الاستقرار dy/dt = α·y(4 − y²) وحاجز الفصل
تنجذب الحالات الموجبة نحو التوازن +2 والسالبة نحو −2، وهو النموذج الرياضي للذاكرة الثنائية والمفاتيح الحيوية.
dy/dx = 0.25*y*(4 - y^2)
الاستجابة العابرة والمستقرة لدوائر RC
المعادلة التفاضلية لمرشح RC بتغذية جيبية: الاستجابة العابرة والمستقرة
يوضح تلاشي المركبة العابرة المعتمدة على الشحنة الابتدائية واستقرار جميع المسارات على موجة جيبية متأخرة الطور.
dy/dx = 2*cos(1.8*x) - 0.9*y
المعادلات التفاضلية القابلة للفصل
المعادلة القابلة للفصل dy/dx = −kxy وعائلة المنحنيات الغاوسية y = C·e^(−kx²/2)
يقارن انحراف طريقة أويلر من الرتبة الأولى بدقة خوارزمية رونغ-كوتا الرابعة (RK4) عبر مسارات الجرس الغاوسي.
dy/dx = -0.6*x*y
معادلات ريكاتي التفاضلية اللاخطية
معادلة ريكاتي التفاضلية اللاخطية dy/dx = a·x² − b·y² وحقل الميول المنحني
معادلة تفاضلية تربيعية غير قابلة للفصل تظهر في نظرية التحكم الأمثل LQR وميكانيكا الكم.
dy/dx = 0.25*x^2 - 0.35*y^2