مستكشف حقول الميول للمعادلات التفاضلية وخوارزمية رونغ-كوتا (RK4)

انقر في أي نقطة داخل مستوى الطور لإطلاق منحنيات حلول متعددة ومقارنة استقرار التوازنات وانحراف طريقة أويلر أمام دقة الرتبة الرابعة RK4.

حقل الاتجاهات التفاضلي (انقر في أي مكان على الشبكة لإطلاق مسار حل جديد)

نماذج المعادلات التفاضلية الفيزيائية والحيوية (12 نموذجاً)

المعادلات التفاضلية الخطية وانتقال الحرارة

قانون نيوتن للتبريد dy/dt = −k(y − T_env) وخط الاتزان الحراري الجاذب

تتقارب جميع المنحنيات التكاملية أسياً نحو خط الاتزان الحراري الأفقي y = 1 مهما كانت درجة الحرارة الابتدائية.

dy/dx = -0.6*(y - 1)

ديناميكا المجتمعات ونقاط التوازن

المعادلة التفاضلية اللوجستية dy/dt = r·y(1 − y/K) واستقرار السعة القصوى

حقل اتجاهي ذاتي يوضح الفرق بين التوازن غير المستقر عند y = 0 والتوازن المستقر الجاذب عند السعة القصوى K = 3.

dy/dx = 0.8*y*(1 - y/3)

الأنظمة ثنائية الاستقرار والتفرع

المعادلة اللاخطية ثنائية الاستقرار dy/dt = α·y(4 − y²) وحاجز الفصل

تنجذب الحالات الموجبة نحو التوازن +2 والسالبة نحو −2، وهو النموذج الرياضي للذاكرة الثنائية والمفاتيح الحيوية.

dy/dx = 0.25*y*(4 - y^2)

الاستجابة العابرة والمستقرة لدوائر RC

المعادلة التفاضلية لمرشح RC بتغذية جيبية: الاستجابة العابرة والمستقرة

يوضح تلاشي المركبة العابرة المعتمدة على الشحنة الابتدائية واستقرار جميع المسارات على موجة جيبية متأخرة الطور.

dy/dx = 2*cos(1.8*x) - 0.9*y

المعادلات التفاضلية القابلة للفصل

المعادلة القابلة للفصل dy/dx = −kxy وعائلة المنحنيات الغاوسية y = C·e^(−kx²/2)

يقارن انحراف طريقة أويلر من الرتبة الأولى بدقة خوارزمية رونغ-كوتا الرابعة (RK4) عبر مسارات الجرس الغاوسي.

dy/dx = -0.6*x*y

معادلات ريكاتي التفاضلية اللاخطية

معادلة ريكاتي التفاضلية اللاخطية dy/dx = a·x² − b·y² وحقل الميول المنحني

معادلة تفاضلية تربيعية غير قابلة للفصل تظهر في نظرية التحكم الأمثل LQR وميكانيكا الكم.

dy/dx = 0.25*x^2 - 0.35*y^2

النمذجة البيئية وعتبات الانهيار

نموذج الحصاد الموسمي للمجتمعات الحيوية وعتبة الانقراض الحرجة

يكشف التذبذب المستقر فوق الكتلة الحرجة مقابل الانهيار المفاجئ عند تجاوز معدل الصيد الموسمي لقدرة التجدد.

dy/dx = y*(1 - y/3) - 0.55*(1 + 0.6*sin(2*x))

نموذج غومبرتز الحيوي والأورام

معادلة غومبرتز التفاضلية للنمو الحيوي غير المتماثل ونقطة الانعطاف عند K/e

بخلاف النمو اللوجستي المتماثل، يصل منحنى غومبرتز إلى أقصى سرعة نمو مبكراً عند النسبة K/e ≈ 36.8%.

dy/dx = 0.55*y*ln(3.5 / max(0.05, abs(y)))

معادلات برنولي التفاضلية

معادلة برنولي اللاخطية dy/dx = 0.5y − 0.2y³ والتحويل الخطي القياسي

تتحول بالتعويض القياسي u = y⁻² إلى معادلة خطية تامة مما يتيح مقارنة الحل التحليلي بدقة تكامل RK4.

dy/dx = 0.5*y - 0.2*y^3

طريقة عامل التكامل للمعاملات المتغيرة

حل المعادلة الخطية ذات المعامل المتغير dy/dx + y/(x + 4) = cos(x) بعامل التكامل

بالضرب في عامل التكامل μ(x) = x + 4 تصبح المعادلة مشتقة تامة يمكن تتبع حلولها بصرياً عبر حقل الميول.

dy/dx = cos(x) - y / (x + 4)

خطوط تساوي الميل والأقماع المقاربة

قمع منحنيات تساوي الميل dy/dx = x − αy² ونظرية الحاجز والقمع الجاذب

يوضح كيف تنحصر الحلول العددية داخل قمع مقارب يتبع الفرع العلوي للقطع المكافئ y ≈ √(x/α) مع تزايد x.

dy/dx = x - 0.35*y^2

الميكانيكا اللاخطية وحقول الميول

حقل الميول لقوة الإرجاع الجيبية مع الاحتكاك الخطي dy/dx = −A·sin(x) − γy

يصور أودية الجهد الدورية مع معامل التخميد اللزج الذي يجذب المسارات نحو أحواض الاستقرار.

dy/dx = -1.5*sin(x) - 0.35*y

الأسئلة العلمية الشائعة والتفسير الرياضي

لماذا تتفوق طريقة رونغ-كوتا الرابعة (RK4) على طريقة أويلر الأمامية؟

تأخذ طريقة أويلر ميلاً واحداً في بداية الخطوة بخطأ تراكمي O(h)، بينما تحسب RK4 أربعة ميول مرجحة عبر الخطوة لتحقق خطأً صغيراً جداً من الرتبة O(h⁴).