حلّال المصفوفات والجبر الخطي بالكسور الدقيقة خطوة بخطوة (مجاناً)
أدخل عناصر المصفوفة (أو الكسور الاعتيادية مباشرة مثل 1/3) واحصل فوراً على سجل عمليات الصفوف الأولية الكامل دون أخطاء تقريب الفاصلة العائمة.
تحويل أي مصفوفة إلى الشكل المدرج المختزل صفياً عبر عمليات الصفوف الأولية بالكسور الاعتيادية المختزلة دون أخطاء تقريب.
3×4 · RREF
يحل نظاماً خطياً من 3 معادلات في 3 مجاهيل عبر المصفوفة الموسعة [A | b] مع التحقق الآلي من دقة الحل بالتعويض المباشر.
3×3 · SYSTEM
يحل مصفوفة لابلاس المتماثلة رباعية العقد المستخدمة في توزيع درجات الحرارة وتحليل التيارات الحلقية بالكسور الدقيقة.
4×4 · SYSTEM
يميز المتغيرات الأساسية والحرة تلقائياً عندما تكون الرتبة أقل من عدد المجاهيل ويكتب الحل العام بدلالة المتجهات الوسيطية.
3×4 · SYSTEM
يوضح خطوة بخطوة كيف يؤدي اختلاف رتبة مصفوفة المعاملات عن المصفوفة الموسعة إلى صف تناقض صريح يثبت استحالة الحل.
3×3 · SYSTEM
تحسب قيمة المحدد بدقة عبر الاختزال الصفّي إلى مصفوفة مثلثية علوية مع تتبع إشارة تبديل الصفوف ومعامل تمدد الحجم.
3×3 · DET
تتجنب فك العوامل المرافقة الـ 24 المرهق عبر تحويل المصفوفة الرباعية بعمليات صفية دقيقة إلى حاصل ضرب القطر الرئيسي.
4×4 · DET
تدمج المصفوفة مع مصفوفة الوحدة وتنفذ اختزال غاوس-جوردان الكامل لاستخراج المصفوفة العكسية بالكسور الدقيقة.
3×3 · INVERSE
يسترجع المعكوس الصحيح التام لمصفوفة هيلبرت الحساسة عددياً مع محددها الدقيق 1/2160 دون أي ضياع ناتج عن التقريب العشري.
3×3 · INVERSE
يكشف الارتباط الخطي R₃ = 2R₂ − R₁ أثناء الاختزال الصفي ليثبت أن الرتبة تساوي 2 وأن المعكوس غير موجود.
3×3 · INVERSE
يحسب كثيرة الحدود المميزة det(A − λI) = 0 ويستخرج القيم الذاتية الحقيقية والمتجهات الذاتية لمصفوفة متماثلة.
3×3 · EIGEN
يفسر ظهور القيم الذاتية العقدية المترافقة في مصفوفات الدوران والتمدد وعلاقتها بالبؤر الحلزونية في الأنظمة الديناميكية.
2×2 · EIGEN
يحلل مصفوفات الاحتمال الانتقالي حيث تحدد القيمة الذاتية λ₁ = 1 التوزيع المستقر وتقيس |λ₂| سرعة التقارب.
3×3 · EIGEN
يستخرج متجهات الأساس لفضاء الأعمدة والفضاء الصفري مع التحقق المباشر من معادلة rank(A) + nullity(A) = n.
3×4 · SUBSPACES
يفكك المصفوفة إلى مصفوفة تبديل P ومثلثية سفلية واحدية L ومثلثية علوية U لتسريع حل الأنظمة المتعددة.
3×3 · LU
يحول أعمدة المصفوفة إلى أساس متعامد ممنظم Q مع مصفوفة مثلثية علوية R لتطبيقات المربعات الصغرى العددية.
3×3 · QR
يستخرج المعاملات الدقيقة للدالة التكعيبية التي تمر بأربع نقاط معطاة عبر حل نظام فاندرموند خطوة بخطوة.
4×4 · SYSTEM
مصفوفة معاملات ذات الحدين المتماثلة التي تتميز بتفكيك مثلثي أقطاره تساوي 1 دائماً مهما كبر حجم المصفوفة.
4×4 · LU
الأسئلة العلمية الشائعة والتفسير الرياضي
لماذا يستخدم المحرك الكسور الدقيقة BigInt بدلاً من الأعداد العشرية فقط؟
في المصفوفات الحساسة عددياً مثل مصفوفة هيلبرت H₃، تؤدي الفاصلة العائمة إلى أخطاء متراكمة، بينما يحافظ اختزال القاسم المشترك الأكبر (p/q) على الدقة الجبرية التامة 100%.
كيف يميز الحلّال بين الحل الوحيد والحلول اللانهائية واستحالة الحل؟
يطبق مبرهنة روشيه-كابيلي على الشكل المدرج المختزل للمصفوفة الموسعة [A | b]: إذا ظهر صف أصفار يقابله ثابت غير صفري فالنظام غير متسق، وإذا وجدت أعمدة بدون ارتكاز يكتب الحل الوسيطي بدلالة المتغيرات الحرة.