استوديو رسم الأسطح ثلاثية الأبعاد z = f(x, y) وخرائط الكنتور والتدرج

استكشف الهندسة التفاضلية للأسطح ونقاط السرج والقيعان اللاخطية عبر عرض مزدوج يجمع المجسم المظلل وخريطة خطوط تساوي الارتفاع.

معادلة السطح ثلاثي الأبعاد z = f(x, y)

الدالة متعددة المتغيرات z = f(x, y)

نطاق الشبكة [−L, L][-4.0, 4.0]

كثافة التقسيم الشبكي36×36

نمط التلوين العلمي

رسم المستوى المماس ومتجه التدرج عند (x₀, y₀)

x₀1.00

y₀0.80

عرض مزدوج متزامن: المجسم ثلاثي الأبعاد + خريطة خطوط الكنتور (انقر لتغيير نقطة الفحص)

المجسم ثلاثي الأبعاد (اسحب للدوران 360°) z = f(x, y)

خطوط تساوي الارتفاع ومتجه الانحدار ∇f f(x, y) = c

موسوعة الأسطح ثلاثية الأبعاد وحقول التحسين (20 سطحاً قياسياً)

الأسطح التربيعية

السطح المكافئ الزائدي (سطح السرج) z = a(x² − y²) ونقطة السرج الحرجة

سطح مسطّر مزدوج ذو انحناء غاوسي سالب يتقوس لأعلى باتجاه x ولأسفل باتجاه y مع نقطة سرج نموذجية عند الأصل.

z = 0.35*(x^2 - y^2)

الموجات الشعاعية والبصريات

سطح الموجة الشعاعية (القبعة المكسيكية) z = A·sinc(k√(x² + y²))

سطح متماثل شعاعياً يمثل تحويل فورييه الثنائي للفتحات الدائرية مع قمة مركزية وحلقات تموج متحدة المركز.

z = 3.2*sinc(1.8*sqrt(x^2 + y^2))

الأسطح التربيعية والتحسين المحدب

السطح المكافئ الإهليلجي المحدب z = ax² + by² وخطوط الكنتور الناقصية

سطح تربيعي محدب تماماً بمصفوفة هيسيان موجبة التحديد وخطوط تساوي ارتفاع إهليلجية متداخلة حول القاع العالمي.

z = 0.28*(x^2 + 1.5*y^2) - 2

الهندسة التفاضلية للأسطح

سطح سرج القرد الثلاثي z = x³ − 3xy² ونقطة الانحلال التفاضلي

الجزء الحقيقي للدالة العقدية z³ ويضم ثلاثة أودية متناوبة تنعدم عند مركزها المشتقات الجزئية الأولى والثانية معاً.

z = 0.16*(x^3 - 3*x*y^2)

خوارزميات التحسين اللاخطي

سطح هيميلبلو القياسي لاختبار خوارزميات التحسين ذات القيعان الأربعة

سطح اختبار قياسي في بحوث العمليات والتعلم العميق يحتوي على أربعة قيعان عالمية متكافئة وقمة محلية مركزية.

z = 0.025*((x^2 + y - 11)^2 + (x + y^2 - 7)^2) - 2.5

اختبارات الانحدار التدريجي

وادي روزنبروك المقوس f(x,y) = (1 − x)² + b(y − x²)² وتحدي الانحدار التدريجي

وادٍ ضيق على هيئة قطع مكافئ يختبر كفاءة خوارزميات التحسين في الوصول إلى القاع العالمي عند النقطة (1, 1).

z = 0.015*((1 - x)^2 + 30*(y - x^2)^2) - 1.5

الكهروسكونية وحساب المتجهات

المجال ثنائي القطب الغاوسي z = A·x·e^(−α(x² + y²)) والقمة والقاع المتناظران

جهد سلمي أملس متناظر عكسياً يظهر قمة موجبة وقاعاً سالباً يفصل بينهما خط انعدام الجهد عند x = 0.

z = 3.5*x*exp(-0.45*(x^2 + y^2))

المعادلات التفاضلية الجزئية والرنين

نمط الموجة الموقوفة للأغشية المهتزة z = A·sin(kₓx)·cos(kᵧy)

حل ذاتي لمعادلة الموجة الثنائية لغشاء مستطيل مهتز يوضح شبكة العقد الساكنة والبطون المتناوبة.

z = 2.2*sin(1.2*x)*cos(1.2*y)

معالجة الصور والمويجات

مرشح لابلاسيان الغاوسي ثنائي الأبعاد (مويجة ريكر لكشف الحواف)

مؤثر لابلاس للمرشح الغاوسي الثنائي المستخدم في الرؤية الحاسوبية والجيوفيزياء لاكتشاف الحواف متعدّدة المقاييس.

z = 3.2*(1 - 0.45*(x^2 + y^2))*exp(-0.22*(x^2 + y^2))

الخوارزميات التطورية والعالمية

سطح راستريغين متعدد القمم لاختبار الخوارزميات الجينية ومحاكاة التلدين

وعاء تربيعي متراكب مع شبكة جيبية دورية تولّد عشرات القيعان المحلية الخادعة لاختبار خوارزميات البحث الشامل.

z = 0.18*(20 + (x^2 - 10*cos(2*pi*x*0.5)) + (y^2 - 10*cos(2*pi*y*0.5))) - 3

الهندسة المخروطية ومخروط الضوء

المخروط الدائري القائم z = √(x² + y²) وثبات مقدار التدرج الشعاعي |∇z| = 1

سطح مخروطي يمتلك تدرجاً شعاعياً ثابت المقدار يساوي 1 في كل نقطة ما عدا رأس المخروط غير القابل للاشتقاق.

z = sqrt(x^2 + y^2)

الهندسة الكروية

القبة الكروية z = √(R² − x² − y²) ذات الانحناء الغاوسي الموجب الثابت

نصف الكرة العلوي بنصف قطر R = 3 حيث ينطبق المتجه العمودي للسطح مع متجه الموضع الشعاعي من المركز.

z = sqrt(max(0, 9 - x^2 - y^2))

نظرية الجهد وحلول معادلة لابلاس

القمع اللوغاريتمي للجهد الثنائي z = k·ln(r²) ودالة غرين التوافقية

الحل الأساسي لمعادلة لابلاس في بعدين، ويمثل الجهد الكهربائي لخيط مشحون لا نهائي الطول.

z = 1.2*ln(x^2 + y^2 + 0.15)

الأسطح الدنيا وطور الأعداد المركبة

السطح الحلزوني وزاوية الطور العقدي z = c·atan2(y, x) وخط القطع المتفرع

يجسد زاوية العدد المركب arg(x + iy) في الفضاء الثلاثي مع توضيح قفزة التفرع على طول المحور السالب.

z = 1.4*atan2(y, x)

التحولات الطورية وكسر التناظر

جهد البئر الرباعي المزدوج z = α(x⁴ − βx² + y⁴ − βy²) وكسر التناظر التلقائي

نموذج طاقة لانداو الحرة في فيزياء الحالة الصلبة، يبرز قمة مركزية غير مستقرة وأربعة آبار طاقة أرضية متماثلة.

z = 0.18*(x^4 - 5*x^2 + y^4 - 5*y^2) + 2

معالجة الإشارات المكانية والتردد

نواة مرشح غابور الموجهة z = e^(−αr²)·cos(kₓx + kᵧy) لتحليل النسيج البصري

حزمة موجية موضعية موجهة تحقق الحد الأدنى لمبدأ عدم اليقين المكاني والترددي في تحليل الصور.

z = 2.8*exp(-0.22*(x^2 + y^2))*cos(2.2*x + 1.1*y)

فيزياء البلورات وشرائط الطاقة

علاقة التبدد الإلكتروني للشبكة البلورية المربعة E = A(cos x + cos y)

سطح طاقة الإلكترونات في بلورة مربعة ثنائية الأبعاد يوضح تفردات فان هوف وخطوط فيرمي المعيّنة.

z = 1.8*(cos(1.3*x) + cos(1.3*y))

الأطياف وتوزيعات الشدة الشعاعية

قمة الرنين اللورنتزي المتباين الخواص z = A / (1 + αx² + βy²)

سطح كسري يمثل توزيع شدة الحزم الليزرية المركزة وقمم أطياف الرنين المغناطيسي النووي ثنائية الأبعاد.

z = 4.2 / (1 + 0.45*(x^2 + 1.8*y^2))

التداخل الضوئي والأهداب الزائدية

سطح التداخل الموجي ذو الأهداب الزائدية z = A·sin(α(x² − y²))

يولّد أهداب تداخل على شكل قطوع زائدة متداخلة كما تظهر في فحص العدسات اللانقطية بالتداخل الضوئي.

z = 1.6*sin(0.5*(x^2 - y^2))

الأسطح المسطرة والهندسة الحركية

شبيه مخروط بلوكر المسطّر z = 2xy / (x² + y² + ε) ذو الطيتين المتعامدتين

سطح مسطر يتذبذب كدالة sin(2θ) حول الأصل، ويعد المثال الكلاسيكي في التفاضل متعدد المتغيرات لاعتماد النهاية على المسار.

z = (2.4*x*y) / (x^2 + y^2 + 0.25)

الأسئلة العلمية الشائعة والتفسير الرياضي

ما العلاقة الهندسية بين متجه التدرج ∇f وخطوط تساوي الارتفاع (الكنتور)؟

متجه التدرج ∇f = ⟨∂f/∂x, ∂f/∂y⟩ يكون دائماً عمودياً على خط تساوي الارتفاع المار بالنقطة (x₀, y₀) ويشير باتجاه أشد صعود للسطح.

كيف يمكنني نقل نقطة المستوى المماس على السطح؟

يمكنك إما تحريك منزلقي x₀ و y₀ في القائمة الجانبية أو النقر مباشرة في أي موقع داخل خريطة الكنتور ثنائية الأبعاد.